機率分佈：二項、卜瓦松、常態與中央極限定理

機率要先有一個會變的量。機率分佈描述一個隨機變數各種結果的可能性：哪些結果比較容易出現，哪些很少。

數得出來的次數是離散型，用機率質量函數（probability mass function, PMF）。PMF 給的是「正好等於這個點」的機率。一個合格的 PMF 裡，所有可能點的機率加總為 1。

量出來的長度、時間、金額是連續型，用機率密度函數（probability density function, PDF）。密度是曲線的高度，機率是曲線在一個區間上的面積。單點沒有寬度，面積是 0，所以單點機率是 0。連續分佈要回答的是一段區間。

「落到某個值以左」的機率寫成累積分佈函數（cumulative distribution function, CDF）：

F(x) = P(X ≤ x)

x 增大時，事件 {X ≤ x} 只會多納入結果，或維持不變，所以 F 從 0 單調不減，終點是 1。標準常態（standard normal；平均 0、標準差 1，記作 Z）有一個常用切點：P(Z ≤ 1.96) ≈ 0.975。分佈左右對稱，左尾是

P(Z ≤ −1.96) = 1 − 0.975 = 0.025

兩切點中間就是

P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.975 − 0.025 = 0.95

選分佈時對的是問題形狀，不是產業名稱。固定做了 n 次獨立的成功／失敗試驗，要的是成功次數。在一段固定的時間或空間裡數事件發生幾次，試驗次數沒有事先固定的上限。問的是下一次還要再等多久。問的是一個量出來的連續值，要看它在區間裡怎麼散。場景從客服換成產線，只要資料產生的方式沒變，分佈就還是同一個。

伯努利分佈（Bernoulli）只有一次試驗。成功機率是 p，失敗機率是 1 − p。平均是 p，變異數是 p(1 − p)。

二項分佈（Binomial）把這種試驗獨立重複 n 次，每次成功機率都是同一個 p，再數成功的次數。每一次的平均與變異數相同，n 次獨立相加之後，平均是 np，變異數是 np(1 − p)。

n = 10、p = 0.2 時：

平均 10 × 0.2 = 2

變異數 10 × 0.2 × (1 − 0.2) = 10 × 0.2 × 0.8 = 1.6

卜瓦松分佈（Poisson）數的也是次數，產生方式換了：在你劃定的那段時間或空間裡，事件彼此獨立，平均發生率 λ 維持穩定。模型的參數是 λ。試驗次數 n 不進入這個模型。

P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!

平均與變異數都等於 λ。λ = 3、k = 0 時，3^0 = 1，0! = 1，所以

P(X = 0) = e^(−3) × 1 / 1 = e^(−3) ≈ 0.0498

計數資料的變異數若明顯大於平均數，就出現過度離散（overdispersion）。卜瓦松把平均和變異數定成同一個 λ，這條假設對不上。這種計數常改用負二項分佈（Negative Binomial）。

同一條卜瓦松過程，若改問兩次事件之間的等待時間，用指數分佈（Exponential）。平均等待是 1/λ。它具有無記憶性（memoryless）：已經等待的時間，不改變從現在起還要再等多久的機率。

均勻分佈（Uniform）用在一個區間內部，每個值的機率密度相同。密度是平的。

常態分佈（Normal）是對稱的鐘形。位置由平均 μ 決定，寬度由標準差 σ 決定，變異數是 σ²。經驗法則用三個區間記大概的落點：

• 約 68% 在 μ ± 1σ
• 約 95% 在 μ ± 2σ
• 約 99.7% 在 μ ± 3σ

標準常態寫成 Z ~ N(0, 1)。第一節那個 1.96，兩側蓋住約 0.95。經驗法則把 1.96 收成好算的 2，用 μ ± 2σ 記約 95%。

對數常態分佈（Log-normal）是取對數之後成常態。原始值為正、而且右偏時會見到它，所得和交易金額是典型情境。取對數可以讓形狀接近對稱。

二項的次數在樣本條件夠寬時，可以用常態近似。常用經驗規則是 np ≥ 5 且 n(1 − p) ≥ 5，兩條同時成立，才用平均 np、變異數 np(1 − p) 的常態去近似。回到 n = 10、p = 0.2：np = 2，尚未達到 5；n(1 − p) = 8，已達到 5。兩條要同時成立，這組數字還不適合做常態近似。

中央極限定理（central limit theorem, CLT）的對象是樣本平均數。不論母體是什麼形狀，只要樣本數夠大，常用經驗值 n ≥ 30，樣本平均數的抽樣分佈就近似常態。這個常態的平均仍是母體平均 μ，標準差稱為標準誤（standard error, SE）：

SE = σ / √n

σ = 12、n = 36 時，√36 = 6，SE = 12 / 6 = 2。樣本數變為 4 倍時，n = 36 × 4 = 144，√144 = 12，SE = 12 / 12 = 1，是原來的一半。標準誤跟著 √n 走。

定理近似的是樣本平均數的抽樣分佈。每一筆原始資料仍按母體原來的分佈出現。

scipy.stats 用 pmf 算離散分佈的單點機率，用 cdf 算累積，用 ppf 算 CDF 的反函數。

from scipy import stats

n, p = 10, 0.2
mean_binom = n * p                    # 10 * 0.2 = 2
var_binom = n * p * (1 - p)           # 10 * 0.2 * 0.8 = 1.6
binom_pmf = stats.binom.pmf(2, n, p)

poisson_pmf = stats.poisson.pmf(0, 3)  # e^(-3) ≈ 0.0498
norm_cdf = stats.norm.cdf(1.96)        # P(Z ≤ 1.96) ≈ 0.975
norm_ppf = stats.norm.ppf(0.975)       # CDF 的反函數，約 1.96