敘述統計與資料摘要：平均數、四分位距與盒鬚圖

一組訂單、感測值或問卷，筆數一多就無法逐筆閱讀。敘述統計（descriptive statistics）把整組收成少數幾個數字，只回答三件事：中心在哪，稱為集中趨勢（central tendency）；散得多開，稱為離散程度（dispersion）；形狀如何，分成偏態（skewness）與峰態（kurtosis）。三件事要分開看。中心相同的兩組，可以一組擠在一起、一組拉得很開；散開程度相同的兩組，也可以一組左右對稱、另一組單邊拖著長尾。

摘要選錯，讀到的會是另一個中心。平均數（mean）把每一筆都加進總和，離群很遠的那一筆會把中心一起拖走。中位數（median）只看排序後站在正中間的位置，最遠的那一筆再怎麼遠，只要名次不變，中位數就不動。因此先問這組有沒有極端值：沒有，平均數可以代表中心；有，中位數比較能代表典型的一筆。後面的全距、標準差、四分位距，也是沿這條界線在選。

平均數記為 x̄ = Σx / n。這 7 筆的總和是 3 + 5 + 5 + 6 + 8 + 9 + 31 = 67，所以 x̄ = 67 / 7 ≈ 9.57。

中位數是排序後的中間值。筆數為奇數時取正中間一筆；為偶數時取中間兩筆的平均。這裡 n = 7，第 4 筆是 6，中位數就是 6。

眾數（mode）是出現最多次的值，類別資料沒有平均數時也能用。這裡 5 出現兩次，其餘各值只出現一次，眾數是 5。

9.57 遠大於 6。把 31 拿掉再想一次總和，中心不會停在 9.57 附近；是這一筆把平均數拉高。中位數仍是排序後的第 4 筆，不跟著 31 走。

全距（range）＝最大 − 最小。這裡是 31 − 3 = 28。全距只看兩端，31 換成更大的數，全距就跟著變大，中段那幾筆完全沒有發言權。

變異數（variance）改看每一筆離中心多遠，而且把差距平方後加總，避免正負抵銷。整組就是母體時，用母體平均數 μ，

σ² = Σ(x − μ)² / N

手上只是樣本時，中心只能用 x̄，

s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

分母用 n − 1，是為了讓樣本變異數成為母體變異數的不偏估計。原因在於：x̄ 是「讓平方和最小」的那個中心，Σ(x − x̄)² 會小於拿未知的 μ 去算的平方和。若仍除以 n，得到的數會系統性地偏小；改除以 n − 1，這個偏小才被補上。

標準差（standard deviation）是變異數開根號，母體為 σ、樣本為 s。變異數的單位是原單位的平方，不好直接當成距離；開根號之後，單位回到與原資料相同。標準差仍會被極端值影響，因為極端值的差距平方後，在總和裡佔的分量很大。

四分位數（quartiles）把排序後的資料切成四段。Q1 是下四分位數，Q2 就是中位數，Q3 是上四分位數。四分位距（IQR）＝ Q3 − Q1，是中間 50% 的寬度。計算位置時，兩端的極端值通常進不了 Q1 與 Q3，所以 IQR 不跟著極端值走。

這 7 筆若用 pandas 的預設（線性插值），位置由 0 起算：位置 = (n − 1) × p。

• Q1：p = 0.25，位置 = 6 × 0.25 = 1.5，落在編號 1 與 2 之間，兩筆都是 5，所以 Q1 = 5。
• Q2：p = 0.50，位置 = 6 × 0.50 = 3，編號 3 的值是 6。
• Q3：p = 0.75，位置 = 6 × 0.75 = 4.5，落在編號 4 的 8 與編號 5 的 9 之間，Q3 = 8 + 0.5 × (9 − 8) = 8.5。

IQR = 8.5 − 5 = 3.5。對照全距 28，中段其實只寬 3.5，大部分的「很散」是 31 造成的。把 31 換成更大的數，位置 1.5 與 4.5 仍落在同樣的兩筆之間，Q1、Q3、IQR 都不變。

離群值（outlier）在這裡用 1.5×IQR 規則判定：小於 Q1 − 1.5×IQR，或大於 Q3 + 1.5×IQR。

1.5 × 3.5 = 5.25 上界 = 8.5 + 5.25 = 13.75 下界 = 5 − 5.25 = −0.25

31 > 13.75，所以 31 是離群值。其餘各筆都大於 −0.25，沒有低值離群值。

變異係數（coefficient of variation, CV）＝ 標準差 / 平均數。標準差和平均數單位相同，相除後單位消掉。寫成百分比時再乘以 100%。兩組的平均數差很多，或單位根本不同（一組是元、一組是公斤）時，直接比標準差會把「中心本來就比較大」誤當成「比較散」。CV 比的是相對自己中心的離散程度。

右偏（正偏態，positive skew）是右側長尾，通常平均數 > 中位數。左偏（負偏態，negative skew）是左側長尾，通常平均數 < 中位數。長尾那一側的少數遠值把平均數拉離中位數，中位數留在較厚的那一側。上面這 7 筆，9.57 > 6，而且高的一側有離群值 31，方向與右偏一致。

峰態描述尾巴厚薄。尾巴厚，表示極端值比常態分佈（normal distribution）多。峰態回答的是「極端值出沒的厚度」，不是中心在哪，也不是中段寬度。

盒鬚圖（box plot）把四分位數畫出來。箱子從 Q1 畫到 Q3，箱子長度就是 IQR。箱內的線是中位數。鬚延伸到 1.5×IQR 範圍內最遠的資料點；範圍外的點單獨畫出，就是離群值。

用同一列資料：箱子從 5 到 8.5。中位數線在 6。6 − 5 = 1，8.5 − 6 = 2.5，線離下緣較近。下界 −0.25 以內最遠的點是 3，上界 13.75 以內最遠的點是 9，所以下鬚收到 3、上鬚收到 9，31 單獨畫在上鬚之外。

判讀偏態時看兩件事。中位數線靠近 Q1（箱子下緣）且上鬚較長，是右偏；靠近 Q3 且下鬚較長，是左偏。箱子長短只代表中段資料的分散程度，與樣本數多寡無關。樣本很大，中段仍可以擠在一個窄箱子裡。

Z 分數（z-score）把單一筆換成「離平均幾個標準差」：

z = (x − μ) / σ

平均 70、標準差 8、x = 86 時，z = (86 − 70) / 8 = 16 / 8 = 2，也就是高於平均 2 個標準差。不同科目、不同單位的原始分數不能直接相減；各自換成 Z 分數之後，比的是同一種距離。Z 分數看的是「這一筆在自己那組裡的位置」。若問的是整組散得開不開，而且兩組平均差很多或單位不同，用的是上一節的 CV，不是 Z 分數。

pandas 裡同一套定義可以一次印出。describe() 的 std 是樣本標準差，分母為 n − 1。

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({"x": [3, 5, 5, 6, 8, 9, 31]})
print(df["x"].describe())
print(df["x"].quantile([0.25, 0.75]))
print(df["x"].median())
print(df["x"].mode())
print(df["x"].skew())

describe() 依序給出 count、mean、std、min、25%、50%、75%、max。25%、50%、75% 就是這份預設下的 Q1、中位數、Q3，與上面的 5、6、8.5 同一套位置算法。quantile([0.25, 0.75]) 只取 Q1 與 Q3。median()、mode() 分別是中位數與眾數。skew() 用來看偏態；右偏是右側長尾，通常平均數大於中位數，左偏則相反。程式輸出要跟這個定義一起讀，不要把某一格數字背成另一套指標。