PCA 需要多少樣本？

常見準則是每個變數至少 5～10 筆觀測值；不過 PCA 也能在樣本數少於變數數的情況下計算（基因體研究中常有數千個基因）。此時有意義的主成分數量受限於 min(n−1, p)，n 為樣本數、p 為變數數。

該用共變異數矩陣還是相關矩陣？

當變數單位不同或尺度差異很大時，用相關矩陣（等同於先標準化）。當所有變數共用同一單位、且希望保留原始變異結構時（例如全部以 mg/dL 量測），用共變異數矩陣。

PCA 和因素分析一樣嗎？

不一樣。PCA 是資料降維技術，萃取能解釋最大變異的主成分；因素分析則建模造成觀測相關的潛在因素。實務上 PCA 多用於降維，因素分析則適合你已有潛在構念的理論模型時。

PCA 能處理遺漏值嗎？

標準 PCA 需要完整資料。對含遺漏值的資料集，可選：(1) 移除不完整的列（若數量少）、(2) 補值（平均數、KNN 或多重插補）、或 (3) 採用能直接處理遺漏值的演算法如 NIPALS。

研究工作台

🧬PCA 主成分分析

免費線上 PCA 主成分分析工具。Score Plot、Scree Plot、Loadings 矩陣，適合多變量數據降維。

📋 DATA INPUT

數據矩陣（每行一個樣本，逗號分隔）

樣本標籤（選填，逗號分隔）

特徵名稱（選填，逗號分隔）

矩陣尺寸

0 × 0

樣本 × 特徵 · 符合

列欄位一致性

符合

跨量級特徵通常建議同時中心化與標準化。

樣本標籤對齊

選填

未提供樣本標籤，圖中將以單色顯示。

特徵名稱對齊

選填

未提供特徵名稱，系統將以 Var 1... 命名。

前處理

中心化 · 標準化

跨量級特徵通常建議同時中心化與標準化。

什麼是主成分分析？

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種降維技術，用於將高維度的數據投影到較低維度的空間中，同時盡可能保留原始數據的變異資訊。

想像你有一份包含 20 個生化指標的血液檢測數據。這 20 個變數之間可能存在大量的冗餘（例如多種發炎指標之間高度相關）。PCA 會找出數據中變異量最大的方向——這些方向就是「主成分（Principal Components）」。

數學上，PCA 對數據的共變異數矩陣進行特徵值分解（eigendecomposition）。每個特徵值代表該主成分所解釋的變異量，對應的特徵向量則定義了主成分的方向（也就是原始變數的線性組合權重）。

如何解讀 Scree Plot

Scree Plot 是一張將各主成分的特徵值（或解釋變異百分比）按大小排列的圖表。它是決定「保留幾個主成分」的關鍵工具。

手肘法則（Elbow Rule）：找到曲線從陡峭變為平坦的「手肘」位置。手肘之前的主成分包含有意義的資訊，之後的主成分主要是噪音。

Kaiser 準則：保留特徵值大於 1 的主成分（僅適用於標準化後的數據）。邏輯是：一個主成分解釋的變異如果還不如單一原始變數，就不值得保留。

累積解釋變異量：通常目標是保留到累積解釋 70-90% 的總變異量。在探索性分析中 70% 可能就足夠；在嚴謹的研究中可能需要 85% 以上。

Loadings 的解讀

Loadings 矩陣顯示每個原始變數對各主成分的貢獻權重。絕對值越大，代表該變數對該主成分的影響越大。

如果 PC1 的 loadings 中，BMI、腰圍、三酸甘油酯的權重都很高，你可以將 PC1 解讀為「代謝症候群因子」。

如果某個變數在所有主成分上的 loadings 都很低，它可能對你的分析沒有太大貢獻。

PCA 的應用場景

PCA 在生醫研究中有幾個核心應用：

處理多重共線性：當你的自變數之間高度相關時，直接丟進迴歸模型會導致估計不穩定。先用 PCA 提取獨立的主成分，再以主成分作為迴歸的預測變數，可以有效解決這個問題。

數據探索與視覺化：將高維數據投影到前兩個主成分（Score Plot），可以直觀地觀察樣本之間的分群趨勢、離群值，以及不同實驗條件之間的差異。

機器學習前處理：在訓練分類或預測模型之前，用 PCA 降維可以減少過度擬合（overfitting）的風險，同時加速運算。

基因表現分析：在基因組學和轉錄組學中，PCA 常用於檢測批次效應（batch effect）、辨識樣本異常，以及初步探索基因表現的整體模式。

建立直覺：互動投影探索

執行分析後，本工具會提供一個用你自己資料驅動的互動投影探索器。任選兩個特徵，拖曳直線旋轉投影方向，投影後的變異數會即時更新；按下 OPTIMIZE，直線會以動畫滑向使投影最分散的方向，也就是這兩個特徵的第一主成分（PC1）。在閱讀下方正式的 score plot 與 scree plot 之前，這是親手體會「最大化變異」意義的方式。請注意：兩個特徵的 PC1 與使用全部變數計算的整體 PC1 並不相同。

使用 PCA 前的注意事項

標準化：如果你的變數有不同的量綱（例如體重用公斤、血壓用 mmHg），必須先標準化（z-score），否則量綱較大的變數會主導主成分。

樣本量：經驗法則是觀測數至少要是變數數的 5-10 倍。樣本太少時，PCA 的結果不穩定。

線性假設：PCA 只捕捉線性關係。如果你的數據中存在重要的非線性結構，考慮使用 t-SNE 或 UMAP 進行非線性降維。

可解釋性：主成分是原始變數的線性組合，有時不容易給出直觀的命名。如果可解釋性很重要，可以考慮因子分析（Factor Analysis）搭配旋轉（Varimax rotation）。

🧬PCA 主成分分析

PCA 輸入檢查