🧬 PCA 主成分分析

什麼是主成分分析？

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種降維技術，用於將高維度的數據投影到較低維度的空間中，同時盡可能保留原始數據的變異資訊。

想像你有一份包含 20 個生化指標的血液檢測數據。這 20 個變數之間可能存在大量的冗餘（例如多種發炎指標之間高度相關）。PCA 會找出數據中變異量最大的方向——這些方向就是「主成分（Principal Components）」。

數學上，PCA 對數據的共變異數矩陣進行特徵值分解（eigendecomposition）。每個特徵值代表該主成分所解釋的變異量，對應的特徵向量則定義了主成分的方向（也就是原始變數的線性組合權重）。

如何解讀 Scree Plot

Scree Plot 是一張將各主成分的特徵值（或解釋變異百分比）按大小排列的圖表。它是決定「保留幾個主成分」的關鍵工具。

• 手肘法則（Elbow Rule）：找到曲線從陡峭變為平坦的「手肘」位置。手肘之前的主成分包含有意義的資訊，之後的主成分主要是噪音。
• Kaiser 準則：保留特徵值大於 1 的主成分（僅適用於標準化後的數據）。邏輯是：一個主成分解釋的變異如果還不如單一原始變數，就不值得保留。
• 累積解釋變異量：通常目標是保留到累積解釋 70-90% 的總變異量。在探索性分析中 70% 可能就足夠；在嚴謹的研究中可能需要 85% 以上。

Loadings 的解讀

Loadings 矩陣顯示每個原始變數對各主成分的貢獻權重。絕對值越大，代表該變數對該主成分的影響越大。

• 如果 PC1 的 loadings 中，BMI、腰圍、三酸甘油酯的權重都很高，你可以將 PC1 解讀為「代謝症候群因子」。
• 如果某個變數在所有主成分上的 loadings 都很低，它可能對你的分析沒有太大貢獻。

PCA 的應用場景

PCA 在生醫研究中有幾個核心應用：

• 處理多重共線性：當你的自變數之間高度相關時，直接丟進迴歸模型會導致估計不穩定。先用 PCA 提取獨立的主成分，再以主成分作為迴歸的預測變數，可以有效解決這個問題。
• 數據探索與視覺化：將高維數據投影到前兩個主成分（Score Plot），可以直觀地觀察樣本之間的分群趨勢、離群值，以及不同實驗條件之間的差異。
• 機器學習前處理：在訓練分類或預測模型之前，用 PCA 降維可以減少過度擬合（overfitting）的風險，同時加速運算。
• 基因表現分析：在基因組學和轉錄組學中，PCA 常用於檢測批次效應（batch effect）、辨識樣本異常，以及初步探索基因表現的整體模式。

使用 PCA 前的注意事項

• 標準化：如果你的變數有不同的量綱（例如體重用公斤、血壓用 mmHg），必須先標準化（z-score），否則量綱較大的變數會主導主成分。
• 樣本量：經驗法則是觀測數至少要是變數數的 5-10 倍。樣本太少時，PCA 的結果不穩定。
• 線性假設：PCA 只捕捉線性關係。如果你的數據中存在重要的非線性結構，考慮使用 t-SNE 或 UMAP 進行非線性降維。
• 可解釋性：主成分是原始變數的線性組合，有時不容易給出直觀的命名。如果可解釋性很重要，可以考慮因子分析（Factor Analysis）搭配旋轉（Varimax rotation）。